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TEMA2- Álgebra de Boole y Funciones Lógicas

TEMA 2 - ALGEBRA DE BOOLE Y FUNCIONES LÓGICAS

Álgebra de Boole
Tablas de verdad
Algorítmos de simplificación de expresiones lógicas
Implementación de funciones lógicas mediante puertas lógicas

2.1. ALGEBRA DE BOOLE

Definición

Álgebra de boole o álgebra booleana se le denomina a las reglas algebraicas, basadas en la teoría de conjuntos, para manejar ecuaciones de lógica matemática. La lógica matemática trata con proposiciones, elementos de circuitos de dos estados, etc., asociados por medio de operadores como Y, O, NO, EXCEPTO, SI...ENTONCES, y que, por lo tanto permite cálculos y demostraciones como cualquier parte de las matemáticas. Es llamada así en honor de George Boole, famoso matemático, que la introdujo en 1847.

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Operaciones y propiedades básicas del álgebra de Boole

Ley de absorción : a + a . b = a

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Teoremas

Existen muchos teoremas en el álgebra de Boole, pero todos ellos se pueden deducir a partir de otros con ayuda de las operaciones y propiedades básicas. Pero dada su utilidad es muy importante recordar el siguiente, el Teorema de De Morgan:

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2.2. TABLAS DE VERDAD

Representación

Son unas representaciones gráficas de todos los casos que se pueden dar en una relación algebraica y de sus respectivos resultados.

verdad.gif (13902 bytes)

figura 1. tabla de verdad

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Formas canónicas de una función

Se define función en el álgebra de Boole todo conjunto de variables relacionadas entre sí por cualquiera de las operaciones de suma lógica, producto lógico y complementación.

A partir de la tabla de verdad se puede obtener una función algebraica en dos formas canónicas diferentes. Dichas formas son:

Primera forma canónica ( función con estructura de minterms ): La primera forma canónica es suma de productos canónicos, es decir, suma de productos en los que aparecen todas las variables, bien complementadas o bien sin complementar.

De la tabla anterior ( fig. 1 ) , como podemos ver se obtienen suma de productos al tomar los 1 de la tabla de verdad.

Segunda forma canónica ( función con estructura de maxterms ) : La segunda forma canónica es producto de sumas canónicas . Esa función algebraica se podrá simplificar aplicando directamente las leyes del álgebra de Boole, o bien, sistemáticamente, a través de métodos de reducción que veremos más adelante.

De la tabla anterior ( fig. 1 ) , como podemos ver se obtienen producto de sumas al tomar los 0 de la tabla de verdad.

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2.3. ALGORITMOS DE SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES LÓGICAS

Existen dos procedimientos básicos a la hora de simplificar las ecuaciones booleanas :

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Mapas de Karnaugh

Están constituidos por una cuadrícula en forma de encasillado cuyo número de casillas depende del número de variables que tenga la función a simplificar. Cada una de las casillas representa las distintas combinaciones de las variables que puedan existir.

Ejemplos:

Mapa para 2 variables :

Mapa para 3 variables :

Cada una de las casillas que forman el mapa puede representar términos tanto minterms como maxterms. Cuando vayamos a representar una ecuación o función en forma de minterms, pondremos 1 en la casilla correspondiente a cada término de la tabla de verdad ( ver números azules en las casillas que indican el término de la tabla de verdad). Por el contrario, si la representamos en forma de maxterms, pondremos un cero en la casilla correspondiente a cada término.

Vamos a rellenar el mapa, para la tabla de la verdad de la figura 1 :

Consideraciones para la simplificación :

Cuando en un mapa de Karnaugh tratemos de agrupar casillas para simplificar, deberemos procurar conseguir grupos del máximo número de casillas, pero respetando las normas anteriores.

Ejemplo para DOS VARIABLES, de la función f(A,B)= A*B' + A*B= m2+ m3 ( nota B' = complemento de B ), como vamos a resolver por minterms, buscaremos agrupaciones de unos :

Eliminamos la variable B porque tenemos dos casillas contiguas en que aparece complementada y normal ( existe un cambio de B a B' )

Simplificamos la función: f(A,B)= A*B' + A*B= A + A= A

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2.4. IMPLEMENTACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS MEDIANTE PUERTAS LÓGICAS

Puertas lógicas básicas

Las funciones lógicas elementales, también llamadas puertas lógicas, son básicamente seis, que a continuación se detallan :

Puerta AND

and.gif (23439 bytes)

Puerta OR

or.gif (21868 bytes)

Puerta NOT

not.gif (12370 bytes)

Puerta XOR

Las puertas NAND, NOR se obtienen negando ( complementando ) las AND y OR respectivamente :

Puerta NAND

Puerta NOR

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Implementación de funciones lógicas

Dada la expresión lógica de una función, mediante puertas lógicas, iré desarrollando los términos más pequeños para obtener al final el valor de la función. Es importante reseñar que si parto de una expresión simplificada de la función obtendré un circuito con puertas más simple.

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Cronogramas de circuitos lógicos

Es la representación gráfica de la evolución temporal de las diferentes señales o variables de un circuito digital ( entradas, salidas, estados internos, etc. ). Ejemplo, para una puerta AND :

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