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EL TEOREMA DE PITAGORAS

EL TEOREMA DE PITAGORAS.

 

Por: M. en C. Angela Alemán de Sánchez

Julio 1999.

 

 

En la actualidad, existen más de 1000 demostraciones que confirman que el Teorema de Pitágoras es uno de los resultados que a través de la historia más han llamado la atención.

Generalmente, tanto en primaria como en secundaria, al abordarse el estudio del Teorema de Pitágoras, se parte del enunciado de la regla y se pasa directamente a su aplicación en la solución de triángulos rectángulos. Pero sin duda, si preparamos la estructura afectiva del estudiante a través de la motivación, lograremos una mejor recepción y mayor asimilación de este principio tan aplicado y cuya relevancia resulta indudable. Hemos recopilado en este artículo, algunas sugerencias didácticas para una atractiva y sencilla presentación.

1. Breve Historia.

Pitágoras fue un filósofo y matemático griego que vivió en el periodo 585 – 500 A. C. Hombre místico y aristócrata que fundó la Escuela Pitagórica, una especie de secta cuyo símbolo era el pentágono estrellado, y dedicada al estudio de la filosofía, la matemática y la astronomía.

Por muchos años se le ha atribuido a Pitágoras el enunciado y demostración del teorema geométrico que lleva su nombre. Aunque algunos historiadores consideran lo contrario, ha resultado difícil demostrarlo, debido al misterio que rodeaba las enseñanzas de la escuela, así como el carácter verbal de estas y la obligación de atribuir todos los conocimientos al jerarca de la escuela.

Existen evidencias de que en otras culturas también se conocía el teorema. Por ejemplo, los hindúes explícitamente enuncian una regla equivalente a este teorema en el documento Sulva – Sutra que data del siglo VII A.C. Por otra parte, los Babilonios aplicaban el teorema 2000 años A. C., pero tampoco se conoce de la existencia de una demostración, ya que la geometría no era para ellos una teoría formal sino un cierto tipo de aritmética aplicada, en la cual las figuras venían representadas en forma de números. A su vez, los egipcios conocían que el triángulo de lados 3,4 y 5 es rectángulo pero no se conoce de la existencia de alguna regla que sustente el conocimiento del teorema.

Algunos aseguran que durante sus viajes a Egipto y al oriente antiguo, el sabio griego conoció el enunciado de la regla y se dedicó a demostrarla.

El enunciado que dieron los antiguos griegos al Teorema de Pitágoras es el siguiente: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

El enunciado moderno es: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 

2. Algunos Recursos Didácticos.

Al presentar el teorema de Pitágoras, podemos efectuar su demostración ( en secundaria) o simplemente comprobar, de manara concreta el cumplimiento de la regla (tanto en primaria como en secundaria). A continuación, algunas sugerencias.

2.1 Una Sencilla Demostración

El estudiante debe conocer que:

Consideramos la figura

figpitagora.gif (3326 bytes)

El área del cuadrado chico (blanco) es a2

El área del cuadrado grande (verde) es (c +b )2

Del álgebra sabemos que (c + b )2 = c2 + 2cb + b2

Cómo el área de cada triángulo viene dada por (bc)/2

entonces, la suma de las cuatro áreas es 4 (bc)/2 = 2bc

Podemos asegurar entonces que:

el área del cuadrado chico más el área de los triángulos es igual al área del cuadrado grande, es decir

a2 + 2bc = c2 + 2cb + b2

a2 = c2 + b2

Lo cual no es más que el enunciado moderno del Teorema de Pitágoras

2.2 Comprobando que el Teorema se Cumple.2

Podemos utilizar este recuso a manera de experiencia de laboratorio, para introducir el teorema de Pitágoras o para verificar que se cumple su enunciado. A continuación dos ejemplos de cómo utilizar rompecabezas para verificar que: el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas construidas sobre los catetos.

Ejemplo 1:

Se pide al estudiante que coloque las piezas recortadas sobre el cuadro gris, de tal forma que agote toda el área.

figpitagora2.gif (3799 bytes)

 

Ejemplo 2:

figpitagora3.gif (691 bytes)

figpitagora4.gif (1173 bytes)

figpitagora5.gif (2084 bytes)

Las cinco piezas colocadas sobre el cuadrado de lado c agotan completamente el área. De esta manera se confirma el enunciado del Teorema de Pitágoras.

Si lo que buscamos es introducir el teorema, una vez armado el rompe cabezas, se le pide que enuncie una regla que indique la relación entre las áreas trabajadas. O podemos simplemente enunciar el teorema y verificar su cumplimiento antes de pasar su aplicación en la resolución de triángulos.

Son incontables las aplicaciones de este teorema con las que ha de encontrarse el alumno a lo largo de sus estudios, sobre todo, aquellos que se especialicen en áreas científicas. Razón por la cual es importante que cada uno de ellos pueda realmente integrarlo a su estructura cognitiva.

Biliografía

  1. 1999 Apuntes del Seminario Taller: Formación de Facilitadores para Dictar los Seminarios a Nivel Básico y Medio. Universidad de panamá.
  2. 1989. Las Matemáticas y su Enseñanza. Instituto Tecnológico de Costa Rica.
  3. 1966. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Aurelio Baldor. Méjico.
  4. 1993. Apuntes del Seminario: Aplicación de Programas de Computadoras para Propiciar la Creación Matemática.

1 Extraída de la documentación del seminario taller: Formación de Facilitadores para Dictar Seminarios a Nivel Básico y Medio. 1999.

2 Ambas proposiciones representan rompecabezas que se pueden utilizar tanto a nivel primario como secundario.